DISTRIBUCIÓN ERLANG

3.4 GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS 

La variabilidad de eventos y actividades se representa a través del funcionamiento de densidad para fenómenos continuos, y mediante distribuición de probabilidad para fenomenos de tipo discreto. la simulacion de estos eventos  se realiza con la ayuda de generación de variables aleatorias.


Para ello nosotros tomaremos un subetema del método de la convolucion el cual es Distribución ERLANG.

  MÉTODO DE LA CONVOLUCION

            En algunas distribuciones de probabilidad a variable aleatoria a simular, Y, puede generarse mediante la suma de otras variables aleatorias X de manera mas rápida que a través de otros métodos. Entonces, el método de convolución se puede generar como:

Las variables aleatorias de cuatro de las distribuciones, las conocidas (Erlang, normal, binomial, y de poisson) puede ser generadas de este método, como, se verá a continuación.

DISTRIBUCIÓN ERLANG

 Para comenzar daremos una reseña biográfica de Agner Krarup Erlang.  

Erlang nació en Lonborg (Lonborg), en Dinamarca. Era hijo de un maestro de escuela y era descendiente del matemático Thomas Fincke por el lado de su madre. Erlang aprobó con distinción el examen de ingreso para la Universidad de Copenhague en 1896. Obtuvo una beca para la universidad y se graduó en matemáticas en 1901. Durante los siguientes años sería profesor, pero mantuvo su interés en las matemáticas y recibió un premio por un artículo que remitió a la Universidad de Copenhague. Fue miembro de la asociación danesa de matemáticas, por medio de la cual conoció a Johan Jensen, el ingeniero jefe de la Copenhagen Telephone Company (CTC), la cual era una subsidiaria de International Bell Telephone Company. Erlang trabajó por casi 20 años para CTC, desde 1908 hasta su muerte en Copenhague en 1928. 

Siguiendo con nuestro tema daremos a conocer el método antes mencionado.

La variable aleatoria k-Erlang con medida 1/λ  puede producirse a partir dela generación de k variables exponenciales con media 1/kλ

Ejemplo: 

El tiempo de proceso de cierta pieza sigue la distribución 3-erlang con media 1/λ de 8 minutos/ pieza. Una lista de números pseudoaleatorios r_{i ~} U(0,1) y la ecuación de generación de números Erlang permite obtener la siguiente tabla que indica el comportamiento de una variable aleatoria. 

Simulación del tiempo de proceso 

Pieza	1- ri	1- ri	1- ri	Tiempo de proceso (min/pieza)
1	0.28	0.52	0.64	6.328
2	0.96	0.37	0.83	3.257
3	0.04	0.12	0.03	23.588
4	0.35	0.44	0.50	6.837
5	0.77	0.09	0.21	11.279

                                     BIBLIOGRAFÍA

SIMULACIÓN Y ANÁLISIS DE SISTEMAS CON PROMODEL

EDUARDO GARCIA DUNNA, HERIBERTO GRACIA REYES, LEOPOLDO E. CARDENAS BARRÓN

PRIMERA EDICIÓN

PEARSON EDUCACIÓN, MEXICO 2006

INTEGRANTES DEL EQUIPO:

BAUTISTA ALONSO MARISSEY

BAUTISTA VARGAS ADAN 

CRUZ ESCUDERO PAUL 
FRANCISCO NAVARRO TERESA DE JESUS

MARTINEZ MAR FILIBERTO

MEJIA FERRER GABRIEL HUMBERTO 

                                                                                                            

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CERRO AZUL

MATERIA: SIMULACIÓN

CATEDRATICO: LIC.MARIA A. ROSAS TORO

ESPECIALIDAD: ING. SISTEMAS COMPUTACIONALES

INTEGRANTES:

BERMÚDEZ PÉREZ SARA I.

ESCOBEDO VALDEZ RUBEN

PÉREZ MARTÍNEZ ERIKA

MAR GASPAR JOSÉ EDUARDO

OSORIO CRUZ DAVID

MÉTODO DE COMPOSICIÓN

Para generar valoresde variables aleatorias no-uniformes es usado también el método de composición, en la cual la distribución de probabilidad f(x) se expresa cómo una mezcla de varias distribuciones de probabilidad f(x) seleccionadas adecuadamente. Este procedimiento se basa en el objetivo de minimizar el tiempo de computación requerido para la generación de valores de la variable aleatoria analizada.

El método de composición-conocido también cómo método mixto-permite generar variables aleatorias x cuando estas provienen de una función de densidad fx qué puede expresarse cómo la combinación convexa de distribuciones de probabilidad fi(x). Entonces, la combinación convexa se puede expresar como:

Donde:

Algunas de las distribuciones mas conocida que pueden expresarse como una combinación convexa son: triangular, de Laplace y trapezoidal. El procedimiento general de generación es el siguiente:

1. Calcular la probabilidad de cada una las distribuciones
2. Asegurar que cada función sea función de densidad.
3. Obtener, mediante el método de la transformada inversa, las expresiones para generar variables aleatorias de cada una de las distribuciones.
4. Generar un numero pseudoaleatorio que permita definir el valor de
5. Seleccionar la función generadora
correspondiente a la función.
6. Generar un segundo número pseudoaleatorio y sustituirlo en la función
generadora anterior para obtener .

Un ejemplo de una combinacion convexa es la Distribución triangular que se desarrollara paso a paso:
A partir de la función de densidad triangular

Calcular la probabilidad de cada uno de los segmentos de la función

Ya que los segmentos por separado no son funciones de densidad, se ajustan dividiendo por su
correspondiente .

Expresando la función como una combinación convexa se obtiene:

Donde:

Primero integramos para aplicar el metodo de la transformada inversa a cada segmento de la funcion:

Luego, despejando x y sustituyendo en obtenemos:

Por último, al expresar la ecuación anterior incluyendo la función indicadora que tenemos que:

Ejemplo: Generar una muestra de 5 variables aleatorias con distribución triangular a partir de los parámetros: valor mínimo 5, moda 10 y valor máximo 20.

Sustituyendo obtenemos:

Al generar una secuencia de números pseudoaleatorios se obtiene la secuencia de variables triangulares que se lista en la siguiente tabla:

Bibliografía
simulacion y analisis de sistemas con promodel.Garcia Dunna Eduardo, Garcia Reyes Heriberto y Cardenas Barron E. Leopoldo Edit.Pearson Educacion Primera Edicion. pag. 82-85.

La distribución de Poisson

Introducción.

La distribución de Poisson se utiliza para describir cierto tipo de procesos, entre los que se encuentra la distribución de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador, las solicitudes de pacientes que requieren de servicios en una institución de salud, la llegada de automóviles y camiones a una caseta de cobro y el número de accidentes registrados en ciertas intersecciones.

Los ejemplos anteriores pueden ser descritos mediante una variable aleatoria discreta que toma valores enteros (0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.). El número de pacientes que llegan a un consultorio en ciertos intervalos será de 0, 1, 2, 3, 4, 5 o algún otro número entero. De manera parecida si se cuenta el número de automóviles que llegan a una caseta de cobro durante un periodo de 10 minutos, el número será de 0, 1, 2, 3, 4, 5 y así consecutivamente.

Calculo de la distribución de Poisson.

• La distribución de probabilidad de Poisson, como se a mostrado, tiene que ver con ciertos procesos que pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta. Generalmente, la letra X representa a esta variable discreta y puede tomar valores (0, 1, 2, 3, 4 , 5. etc.). Utilizando la mayúsculas X para representar a la variable aleatoria y la minúscula x para señalar un valor especifico que dicha variable puede tomar.
• La probabilidad de tener exactamente x ocurrencias en una distribución de Poisson se calcula con la siguiente fórmula.

• La distribución de Poisson puede simularse mediante el método de la transformación cuantil con búsqueda secuencial. También puede simularse haciendo uso de la relación que guarda con la distribución exponencial. Así, dadas variables aleatorias T1, T2, …, Tn, … independientes y con distribución exponencial (λ), la variable aleatoria entera, X, que verifica.

• Definiendo (X = 0 si T1 > 1) tiene distribución Poisson (λ).
• 
  
• Supongamos que estamos investigando la seguridad de una peligrosa intersección. Los registros policiacos indican una media de cinco accidentes mensuales en esta intersección. El número de accidentes está distribuido de acuerdo con una distribución de Poisson, y el departamento de seguridad de transito desea que calculemos la probabilidad de que cualquier mes ocurra exactamente 0, 1, 2, 3, 4 accidentes. Utilizaremos la tabla de 4a del apéndice para evitar el tener que calcular e elevada a potencias negativas. Aplicando la fórmula.

* Nuestros cálculos responderán a varias preguntas. Quizá deseemos conocer La probabilidad detener 0, 1, 2 accidentes mensuales. Podemos averiguar esto sumando la probabilidad de tener exactamente 0,1 y 2 accidentes, de la siguiente forma:

* Tomaremos medidas para mejorar la seguridad de la intersección si la probabilidad de que ocurran más de tres accidentes mensuales excede el 0.65. Debemos tomar medidas? Para resolver este problema, necesitamos la probabilidad de tener 0, 1,2 o 3 accidentes y luego restar el resultado de 1.0 para obtener la probabilidad de más de 3 accidentes.

* Como la probabilidad de Poisson de que ocurran tres o menos accidentes es de es de 0.26511, la probabilidad de tener más de tres accidentes debe ser 0.73489 (1.000oo – 0.26511). Debido a que 0.73489 es mayor que 0.65, es necesario tomar medidas para mejorar la intersección.

* Podríamos continuar calculando las probabilidades para más de cuatro accidentes y al final construir una distribución de probabilidad de Poisson del número de accidentes mensuales en esta intersección.

Bibliografía:

* INTRODUCCION A LA SIMULACION Y A LA TEORIA DE COLAS_ Escrito por Ricardo Cao_ Editorial netbiblo.

* Estadística para administración y economía_ autor Levin Rubín Balderas del Valle Gómez_ Editorial Pearson.

Presenta: Castillo Silva Juan Manuel Guzmán Osorno José Jimenez Pérez Isla Martínez Martínez Tomas Alejandro Rivas López Diego Alberto Santiago Domínguez Gabriel

DISTRIBUCION TRIANGULAR

DISTRIBUCION TRIANGULAR

Se denomina así por el hecho de que la función de densidad tiene una forma triangular, tenemos como ejemplo la siguiente tabla:

Se denomina triangular cuando viene definida por dos parámetros, que representan el valor mínimo y el valor máximo de la variable. En este caso el triángulo es equilátero. Se denomina triangular (triangular general), cuando viene dada por tres parámetros, que representan el valor mínimo y el valor máximo de la variable, y el valor del punto en el que el triángulo toma su altura máxima. En este caso el triángulo no es necesariamente equilátero.

La distribución triangular se utiliza normalmente como una descripción subjetiva de una población a lo que solo hay datos de la muestra limitada y sobre todo en los casos en los que la relación entre variables se conoce. Pero los datos son escasos (posiblemente debido al costo de la recaudación). Se basa en el conocimiento de la cantidad mínima y máxima y una ”conjetura inspirada” sobre el valor modal.

Y es de uso frecuente en la toma de decisiones empresariales, sobre todo en las simulaciones. En general, cuando no se sabe mucho acerca de la distribución de un resultado, (por ejemplo, sólo sus valores y de mayor a menor), es posible utilizar la distribución uniforme. Pero si el resultado más probables es que también se conoce, entonces el resultado puede ser simulado por una distribución triangular.

Ejemplo de la distribución triangular:

Sea la función:

MÉTODO DEL RECHAZO

 

INSTITUTO TECNOLOGICO DE CERRO AZUL, VER

ESPECIALIDAD:

ING. EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

MATERIA:

SIMULACIÒN

TEMA:

MÉTODO DEL RECHAZO

INTEGRANTES:

CARLOS DE LA CRUZ LORENA LIZETH

GARCIA  MORALES  JORGE  EDUARDO

MENDOZA  HERNANDEZ  DAYSI

OSORIO CRUZ ESMERALDA

SANTIAGO CRUZ ROSA ELVIA

TORRES HERNANDEZ JONATHAN DE JESUS

CATEDRATICO:

M.C. MARIA ALEJANDRA ROSAS TORO 



MÉTODO DEL RECHAZO

Existe otro procedimiento para generar números al azar de distribuciones  de probabilidad no uniformes. A este tipo de procedimiento se le conoce con el nombre de método de rechazo.

Este método consiste en primeramente en generar un valor de la variable aleatoria y enseguida probar que dicho valor simulado proviene de la distribución de probabilidad que se está analizando. Para comprender la lógica de este método, suponga que f(x), fig.1 es una distribución de probabilidad acotada y con rango finito, es decir, a ≤ x ≤ b. De acuerdo a esta función de probabilidad, la aplicación del método de rechazo implica el desarrollo de los siguientes pasos:

1.      Generar dos números uniformes R1 y R2.

2.      Determinar el valor de la variable aleatoria x de acuerdo a la siguiente relación lineal de R1:

x= a + (b - a) R1

3.      Evaluar la función de probabilidad en x= a + (b - a) R1.

4.      Determinar si la siguiente desigualdad se cumple:

R2 ≤ f(a + (b - a) R1)/M

Se utiliza a x= a + (b - a) R1 si la respuesta es afirmativa como un valor simulado de la variable aleatoria. De lo contrario, es necesario pasar nuevamente al paso 1 tantas veces como sea necesario.

La teoría sobre la que se apoya este método se basa en el hecho de que la probabilidad de que R2 ≤ f(x)/M es exactamente f(x)/M. Por consiguiente, si un número es cogido al azar de acuerdo a x= a + (b - a) R1 y rechazado si R2 > f(x)/M, entonces la distribución de probabilidad de las x’s aceptadas será exactamente f(x). Por otra parte, conviene señalar que si todas las x’s fueran aceptadas, entonces x estaría uniformemente distribuida entre a y b.

Finalmente, es necesario mencionar que algunos autores como Tocher, han demostrado que el número esperado de intentos para que x sea aceptada como una variable aleatoria que sigue una distribución de probabilidad f(x), es M. esto significa que este método podría ser un tanto ineficiente para ciertas distribuciones de probabilidad en las cuales la moda sea grande.

Ejemplo: Distribución empírica

Se desea generar números al azar que sigan la siguiente distribución de probabilidad:

Para esta función, a =  0, b = 1 y M = 2. Por consiguiente, aplicando los pasos descritos previamente se tiene:

1.      Generar dos números uniformes R1 y R2.

2.      Calcular x = R1.

3.      Es R2 ≤ R1? Si la respuesta es afirmativa, entonces x = R1 es un valor simulado de la variable aleatoria. De lo contrario, se requiere regresar al paso 1 tantas veces como sea necesario.

Ejemplo: Distribución triangular.

Se desea generar números al azar que sigan la siguiente distribución de probabilidad: 

 

Para esta distribución de probabilidad, M = 2/(c - a). Sin embargo, esta distribución está compuesta de dos funciones; una valida en el rango a ≤ x ≤ b y la otra valida en b ≤ x ≤ c. Por consiguiente, los pasos necesarios para simular esta distribución por el método de rechazo serian:

1.      Generar R1 y R2.

2.      Calcular x = a + (c - a) R1.

3.      Es x < b? si la respuesta es afirmativa, f(x) seria:

Por el contrario, si la respuesta es negativa, f(x) seria:  

        

FUENTE DE INFORMACIÒN

libro de Coss Bu. Raúl Simulación un enfoque práctico. Ed. Limusa. paginas 53-56 

CERRO AZUL, VER. MARZO DE 2012